Bjr,
1)
Pour x>1, nous avons les équivalences suivantes
[tex]\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\geq 2\\ \\<=>x\geq 2\sqrt{x-1}\\ \\<=>x^2\geq 4(x-1) \\ \\<=>x^2-4x+4=(x-2)^2\geq 0[/tex]
Donc c'est vrai.
2)
Pour tout (x,y) dans IR, nous avons aussi:
[tex](x-y)^2\geq0\\\\<=>x^2-2xy+y^2\geq0\\ \\<=>x^2+y^2\geq 2xy[/tex]
Prenons
[tex]x=\dfrac{a}{\sqrt{b-1}} \ \ y=\dfrac{b}{\sqrt{a-1}}[/tex]
cela donne
[tex]S\geq 2 \dfrac{ab}{\sqrt{a-1}\sqrt{b-1}}[/tex]
3) ainsi, en utilisant 1) et 2) nous avons
[tex]S\geq 2\times 2\times 2=8[/tex]
Merci
