Bonjour,
1) ci-dessous (pas à l'échelle demandée)
On peut conjecturer que (Un) est décroissante, convergente et que sa limite est 0.
2) Un+1 = Un²/4 ⇒ Un+1 > 0
Donc si (Un) converge, en étant décroissante et positive, sa limite possible est comprise entre 0 et U₀ = 3.
3) Pour n = 0, on vérifie bien que : 0 ≤ U₀ ≤ 3
On suppose qu'au rang n, 0 ≤ Un ≤ 3
Alors, au rang (n+1) :
0 ≤ Un ≤ 3
⇒ 0 ≤ Un² ≤ 9
⇒ 0 ≤ Un²/4 ≤ 9/4
⇔ 0 ≤ Un+1 ≤ 9/4 ≤ 3
⇒ La propriété est vérifiée au rang n+1
⇒ Par récurrence, pour tout n, 0 ≤ Un ≤ 3
4) Un+1 - Un = Un²/4 - Un
= (Un - 4) x Un/4
Or : 0 ≤ Un ≤ 3
⇒ -4 ≤ Un - 4 ≤ -1
⇒ (Un - 4) < 0 (1)
Et 0 ≤ Un/4 ≤ 3/4
⇒ Un/4 ≥ 0 (2)
(1) et (2) ⇒ (Un - 4) x Un/4 ≤ 0 ⇔ Un+1 - Un ≤ 0
⇒ (Un) décroissante
5) (Un) est bornée et décroissante ⇒ (Un) convergente
Soit l cette limite finie :
lim Un = l et lim Un+1 = l
Or Un+1 < Un
⇒ l < l
⇒ l = 0
