Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
Pour construire le point D tel que AD=AB+AC , tu places M mileu de [BC].
Tu traces la droite (AI) et sur cette droite , tu places D tel que AM=MD.
Tu peux voir , en vecteurs , que AD=AB+AC car BD=AC.
OK ?
Puis tu places G tel que AG=(1/3)AD
2)
On a donc BD=AC ( en vect) par construction . Ce qui prouve que ABDC est un parallélogramme.
3)
AG=(1/3)AD
AG=(1/3)(AB+AC)
GA=-(1/3)(AB+AC)
GA+(1/3)(AB+AC)=0
GA+(1/3)(AG+GB+AG+GC)=0
GA+(2/3)AG+(1/3)GB+(1/3)GC=0
(3/3)GA-(2/3)GA+(1/3)GB+(1/3)GC=0
(1/3)(GA+GB+GC)=0 qui donne :
GA+GB+GC=0
4)
a)
Tu fais la construction.
b)
Je parle en vecteurs.
DE=CG qui prouve que le quadrilatère GCDE est un parallélo.
Donc :
CD=GE
Mais CD=AB car ABDC est un parallélo.
Donc :
GE=AB
qui prouve que AEGB est un parallélo.
c)
Toujours en vecteurs :
Comme AEGB est un parallélo :
BE=AG ===>égailté (1)
Par ailleurs :
EF=ED+DF mais ED=GC et DF=GB donc :
EF=GC+GB
De : GA+GB+GC=0 , on sort :
GB+GC=-GA=AG
Donc :
EF=AG ==>égalité (2)
Des 2 égalités (1) et (2) on tire :
BE=EF
qui prouve que E est le milieu de [EF].
N'oublie pas que tout est en vecteurs. OK ?
5)
Je ne sais pas si j'ai trouvé le plus court !!
On y va :
DI=DE+EI
Mais :
DE=CG
Et :
EI=EF/2=BE/2=AG/2
Donc :
DI=CG+AG/2 et CG=CB+BG
DI=CB+BG+AG/2
Mais de GA+GB+GC=0 on tire : AG=GB+GC donc :
DI=CB+BG+GB/2+GC/2
DI=CB-GB+GB/2+GC/2
DI=CB-GB/2+GC/2
DI=CB+BG/2+GC/2
DI=CB+(1/2)(BG+GC)
DI=CB+(1/2)BC
DI=CB-(1/2)CB
DI=(1/2)CB
qui prouve que DI et CB sont colinéaires.
Ouf !
Voir scan
