Réponse :
Bonjour
Exercice 2
f(x) = (x - 1)([tex]\sqrt{x^{2}+1 }[/tex])
on a une fonction de la forme u.v avec u(x) = x - 1 et v(x) = [tex]\sqrt{x^{2} +1}[/tex]
La dérivée de f sera de la forme u'.v + u v'
avec u'(x) = 1 et v'(x) = [tex]\frac{2x}{2\sqrt{x^{2} +1} }[/tex] = [tex]\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} }[/tex]
donc f'(x) = 1 × [tex]\sqrt{x^{2} +1}[/tex] + (x - 1) × [tex]\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} }[/tex]
f'(x) = [tex]\frac{(\sqrt{x^{2} +1})(x^{2} +1) }{x^{2} +1} + \frac{(x^{2} -x)(\sqrt{x^{2} +1}) }{x^{2} +1}[/tex]
f'(x) = [tex]\frac{(\sqrt{x^{2} +1})(x^{2} +1+x^{2} -x) }{x^{2} +1}[/tex]
f'(x) = (2x² - x + 1)([tex]\frac{\sqrt{x^{2} +1} }{x^{2} +1}[/tex])
Exercice 3
a) On peut conjecturer que uₙ = 5ⁿ - 1
b) Soit P(n) la propriété : uₙ = 5ⁿ - 1
Initialisation :
u₀ = 0 et 5° - 1 = 1 - 1 = 0
P(0) est donc vraie
Hérédité :
Soit un certain n tel que uₙ = 5ⁿ - 1
Démontrons que uₙ₊₁ = 5ⁿ⁺¹ - 1
On a uₙ₊₁ = 4 + 5uₙ
⇔ uₙ₊₁ = 4 + 5(5ⁿ - 1) (par hypothèse de récurrence)
⇔ uₙ₊₁ = 4 + 5×5ⁿ - 5 = 5ⁿ⁺¹ - 1
Donc P(n+1) est vraie lorsque P(n) est vraie
La propriété P(n) est donc héréditaire
Conclusion :
La propriété P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire.
Donc quelque soit n entier naturel, uₙ = 5ⁿ - 1
