1/ On a
[tex]n {}^{2} + 3n + 4 = n {}^{2} + n + 2n + 4[/tex]
[tex] = n(n + 1) + 2(n + 2)[/tex]
puisque n( n + 1 ) est pair et 2(n+2) est pair alors ( n^2 +3n+4) est pair
On a aussi
[tex]n {}^{2} + 3n + 4 = n {}^{2} + n - 4n + 4[/tex]
[tex] = n(n + 1) - 4(n - 1)[/tex]
puisque les nombres 4(n -1) et n( n+1) sont pairs alors n^2 -3n+ 4 est pair
2/ On sait que (n^2+3n+4) et (n^2-3n +4) sont pairs donc
[tex]n {}^{2} + 3n + 4 = 2k[/tex]
et
[tex]n {}^{2} - 3n + 4 = 2k [/tex]
(avec k appartient à l'ensemble IN )
Donc
[tex](n {}^{2} + 3n + 4)(n {}^{2} - 3n + 4) = 4kk[/tex]
càd
[tex]n {}^{4} - 3n {}^{3} + 4n {}^{2} + 3n {}^{3} - 9n {}^{2} + 12n + 4n {}^{2} - 12n + 16 = 4kk [/tex]
[tex]n {}^{4} + n {}^{2} + 16 = 4kk = 4k [/tex]
avec 4k ( K appartient à l'ensemble IN)
