xtrémum, minimum, et maximum d'une fonction
On dit qu'une fonction f définie sur un ensemble E à valeurs dans R admet un maximum en aE si, pour tout x de E, on a : f(x)f(a). On parle alors aussi parfois de maximum global, et on dit que f(a) est le maximum de f.
Si E est muni d'une distance, ou d'une norme, on dit que f admet un maximum local, ou maximum relatif en a s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout x de V, on a f(x)f(a).
Bien sûr, en changeant les inégalités de sens, on peut définir un minimum. Un extrémum est un maximum ou un minimum. Etudions l'exemple suivant :
Dans l'exemple suivant, f admet en -1.5 un minimum local, en 1 un minimum global, en -1 un maximum local, et en 2 un maximum global.
La recherche des extréma est liée au calcul différentiel. Ainsi, si f est défini sur un intervalle I de R, et si f est dérivable ena, alors f'(a)=0. L'étude du signe de f' au voisinage de a permet souvent de conclure quant à l'existence d'un maximum ou d'un minimum. Dans le cas où f est défini sur Rn, on étudie cette fois la différentielle, et les dérivées partielles secondes. Le théorème suivant où f va de R2 dans R est classique.
Si
fest différentiable en
a, et si
f admet un extrémum en
a, alors :On dit alors que le point
a est un
point stationnaire, ou un
point critique.
Si
f est C2, et que
a est un point stationnaire, on pose :On distingue les cas suivants :
Si
rt-s2>0 et
r>0,
f admet un minimum relatif en
a.
Si
rt-s2>0 et
r<0,
f admet un maximum relatif en
a.
Si
rt-s2<0,
f n'admet pas d'extrémum en
a, on parle de
point col, ou de
point selle.
Si
rt-s2=0, on ne peut pas conclure.
Enfin, dans le cas où on recherche des extrema suivant certaines contraintes (on parle d'extrema liés), on utilise souvent la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
