Réponse :
Je te donne quelques idées
Explications étape par étape
ex1)Uo=3 et U(n+1)=3Un/(3+2Un)
si tu calcules (sans calculette tu constates que ,U1=1=3/3 ; U2=3/5; U3=3/7 et U4=3/9 je me suis arrêté àU4
On pourrait conjecturer que Un=3/(2n+1) Si c'est ceci la suite est décroissante et la limite est 3/+oo=0+
2a)U1=1 donc>0
admettons que Un>0 alors U(n+1)=3Un/(3+2Un) tous les termes sont> donc le quotient est >0
3)Vn =3/Un alors V(n+1)=3/U(n+1)=3*(3+2Un)/3Un=(3+2Un)/Un=3/Un +2
Calculons V(n+1)-Vn=3/Un+2-3/Un =+2 Comme V(n+1)-Vn=constante alors la suite Vn est arithmétique de raison r=2 et avec V0=3/U0=3/3= 1
Vn=1+2n
SI Vn=3/Un Un=3/Vn doù Un=3/(1+2n)
Cela confirme que la suite Un est décroissante et que la limite est 0+
Un est une suite explicite qui varie comme la fonction f(x)=3/(2x+1) la limite en+oo est 0+ et sa dérivée étant<0 la fonction est décroissante.
ex2)
f(x)=e^(-x²/512) et g(x)=1-x²/512 ces deux fonctions sont définie sur R
f(0)=1 et g(0)=1
dérivées
f'(x)=(-x/256)*e^(-x²/512) et g'(x)=-x/256
f"(x)=[(-1/256)e(^(-x²/512)]-[(-x/256)e^(-x²/512) *(-x/256)]=
=(x²/256²-1/256)e^(-x²/512)
cette dérivée seconde f"(x)=0 si 256x²=256² (produit en croix)
f"(x)=0 pour x=-16 et x=16
Les points d'inflexion de f(x) ont pour abscisses -16 et +16
Quant à g"(x)=-1/256 c'est une constante donc pas de point d'inflexion
Les courbes
(C2) parabole sommet vers le haut représente g(x)
(C3) représente f(x)les points (-16; f(-16)) et (16;f(16)) appartiennent à la courbe et correspondent aux points d'inflexion de la courbe.
