Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
C'est fou le nb de fois que tu as posté ton exo !
Ce sera sympa ensuite de dire sous chacun de tes postes que tu as ma réponse !!
OK ?
1)
On est tenté de choisir la 1ère solution car commencer par recevoir 10 centimes d'€ semble vraiment peu !!
2)
On va appeler U(n) la 1ère solution avec U(0)=25.
U(n)= somme reçue au bout de n mois.
Chaque mois , les parents ajoutent 5 €.
Donc :
U(1)=25+5=30
U(2)=30+5=35
U(3)=35+5=40
Etc.
On va appeler V(n) la 2ème solution avec V(0)=0.10€.
V(n)= somme reçue au bout de n mois.
Chaque mois , les parents augmentent cette somme de 80%. Donc elle augment de:
0.10 * 80/100 soit 0.1*0.8. OK ?
Donc :
V(1)=0.1+0.1*0.8=0.1(1+0.8)=0.1*1.8=0.18
Finalement , la somme reçue à un mois donné est mutilpiée par 1.8 pour obtenir la somme reçue le mois suivant.
V(2)=0.18*1.8 ≈ 0.32 ou V(2)=0.1*1.8*1.8=0.1*1.8² ≈ 0.32
V(3)=0.32*1.8 ≈ 0.58 ou V(3)=0.1*1.8³≈ 0.58
Ce qui n'augmente pas vite.
Donc on a toujours l'impression que la première solution est la plus avantageuse.
3)
En décembre 2021 , ce sera le 13ème mois de versement en plus de nov 2020
1ère solution :
25 + 5 x 13=90 €
2ème solution :
0.1*1.8^13 ≈ 208.23 € !!
On a élevé 1.8 à la puissance 13 comme on a élevé à la puissance 2 pour V(2) et à la puissance 3 pour V(3).
OK ?
Voir explications sur les suites ci-dessous :
En effet on a :
V(n+1)=V(n)*1.8
Donc
La suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=1.8 et de 1er terme V(0)=0.1
On sait que pour une telle suite :
V(n)=V(0)*q^n
Donc :
V(13)=0.1*1.8^13≈ 208.23
Par contre :
U(n+1)=U(n)+25
Donc :
La suite (U(n)) est une suite arithmétique de raison q=5 et de 1er terme V(0)=25.
On sait alors que :
U(n)=U(0)+n*r
U(13)=25+13*5=90
4)
En février 2022 : n=15 ( Après novembre 2020 : 1 mois en 2020 , 12 mois en 2021 et 2 mois en 2022)
V(15)=0.1*1.8^15 ≈674.66 !!
U(15)=25+5*15=100 €
En fait , avec la 2ème solution où la somme augmente de 80% , elle double presque chaque mois et atteint vite des montants énormes que ne pourront pas assumer les parents.
Avec la 1ère solution :
Somme totale reçue = nb de termes x (1er terme + dernier terme)/2
On a 16 versements en tout.
Somme totale reçue=16 x (25 + 100)/2=1000 €
Avec la 2ème solution :
Somme totale= 1er terme x (1-q^16)/(1-q)
Avec q=1.8
Somme totale=0.1 x (1 - 1.8^16)/(1-1.8) ≈ 1517.87 €
