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Bonjour, je suis en première spécialité maths et je bloque sur une question de mon dm.

Avec des anneaux, on réalise une succession de motifs géométriques dont on a représenté les trois premiers ci- dessous.
La figure 1 = 1 anneau , la figure 2 = 5 anneaux, la figure 3 = 13 anneaux
Pour tout nombre entier naturel non nul n, on note cn le nombre d’anneaux du motif n. Un entier cn se nomme « nombre carré centré ».
1. (a) Représenter le motif 4 et donner les valeurs de c1, c2 , c3 et c4 . (b) Etablir une relation de récurrence entre cn+1 et cn. FAIT
2. On remarque Que pour tout n Appartient à N ̊ :cn = 1 + 0x4 +1x4 +...+(n-1)x4
(a) On admet que pour tout n appartient à N : 1+2+3+...+(n-1) = n(n-1)/2
Prouver que cn = 2n^2 - 2n +1.
C’est pour cette question que je bloque. Merci beaucoup.

Sagot :

Réponse :

Bsr,

cn = 1 + 0x4 +1x4 +...+(n-1)x4

Factorisons la partie factorisable par 4.

cn = 1 + 4 (0 +1 +...+(n-1)) = 1 + 4 (1 +...+(n-1))

On a enlevé un zéro inutile.

C'est le moment de reconnaître la somme des entiers de 1 à n-1.

On admet que pour tout n appartient à N : 1+2+3+...+(n-1) = n(n-1)/2

cn = 1 + 4 (1 +...+(n-1)) = 1 + 4n(n-1)/2 = 1 + 2 n² - 2 n

Dans l'ordre on a bien :

cn = 2 n² - 2 n + 1