Explications étape par étape:
Bonsoir, il te faut scrupuleusement connaître les méthodes de résolution, d'une équation différentielle de 2e ordre.
1- On commence par résoudre l'équation homogène associée, soit (Eh) : y'' - 2my' + my = 0.
L'équation caractéristique associée est : r^2 - 2*m*r + m = 0.
Discriminant delta = 4m^2 - 4m = 4m*(m-1).
3 cas sont à différencier, on les étudiera successivement :
A- Delta = 0 qui équivaut à m = 0 ou m = 1.
Une racine double r0 = 2m/2 = m = 0 ou 1.
Les fonctions solutions sont donc de la forme f(x) = (ax+b)*e^r0*x = ax+b si m = 0, ou (ax+b)*exp(x) si m = 1 avec a et b des réels.
À présent, déterminons une solution particulière de (E). Posons f(x) = R*exp(-x). Alors y'' - 2my' + my = 2*R*exp(-x) - 2*m*R*exp(-x) + m*R*exp(-x) = 2*R*exp(-x) - m*R*exp(-x) = (2*R - m)*exp(-x).
Si R = (m+1)/2, alors (m+1)/2 * exp(-x) solution particulière de (E).
La forme générale des solutions sera S = Solution particulière + Solution homogène. Pour le cas delta = 0 sera donc : S = (ax+b)*exp(x) + exp(-x) ou ax + b + (1/2)*exp(-x).
B- Delta > 0, m € ]-infini;0[ union ]1;+infini, 2 solutions, r1 = [2m - rac(4m(m-1))] / 2 et r2 = [2m + rac(4m(m-1))] / 2.
Alors l'ensemble des solutions sera f(x) = a*exp(r1*x) + b*exp(r2*x).
Conclusion : S = a*exp(r1*x) + b*exp(r2*x) + (m+1)/2 *exp(-x).
C- Delta < 0, m € ]0;1[, 2 solutions complexes conjuguées : z1 = [2m - i*rac(4m(m-1))]/2 et z2 = [2m + i*rac(4m(m-1))]/2.
Ainsi l'ensemble des fonctions solution sera :
f(x) = a*exp(mx)*cos[ (1/2) * rac(4m(m-1)) * x] + b*exp(mx)*sin[ (1/2) * rac(4m(m-1)) * x].
Au final, S = Toute l'expression du haut + la solution particulière.
2- Si m = 1, alors S1 = (ax+b)*exp(x) + exp(-x). S1'(x) = a*exp(x) + (ax+b)*exp(x) - exp(-x).
Sachant que y'(0) = 0, en transposant, S1'(0) = 0, d'où a*exp(0) + b*exp(0) - exp(0) = 0.
Au final, a + b = 1, d'où b = 1 - a.
L'ensemble des fonctions solutions, tel que y'(0) = 0 sera y(x) = a*exp(x) + (ax + 1 - a)*exp(x) - exp(-x).
