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Bonjour , j'ai un exercice de math que je n'arrive pas à résoudre, si quelqu'un pourrait m'aider, avec si possible une grosse explication, merci !

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=ax^2+bx+c où a,b et c sont des constantes réelles. On note Cf sa courbe représentative. On souhaite déterminer les valeurs de a,b etc de sorte que:
Contrainte 1) Cf admette une tangente horizontale au point d'abscisse -3.
Contrainte 2) Cf admette la droite d'équation y=4x+5 pour tangente au point d'abscisse -1.

1)a) Exprimer f '(x) en fonction de x,a,b et c.

b) D'après la contrainte 1), quelle doit être la valeur de f '(-3) ?

c) D'après la contrainte 2), justifier que f '(-1)=4 et que f(-1)=1.

2)a) En déduire que trouver a,b et c revient à résoudre le système suivant:
-6a+b=0
-2a+b=4
a-b+c=1

b) Résoudre ce système et en déduire l'expression de f(x).

Merci d'avance pour vos éventuelles réponses.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape

f'(x) = 2 a x + b

Cf admet une tangente horizontale au point d'abscisse -3 donc f'(- 3) = 0

soit - 6 a + b = 0

Cf admet la droite d'équation y = 4 x + 5 pour tangente au point d'abscisse - 1 or f'( - 1) est le coefficient directeur de la tangente en ce point donc f'(- 1) = 4

soit - 2 a + b = 4

La tangente au pont d'abscisse - 1 passe par ce point donc l'ordonnée du point est - 4 + 5 = 1

Ce point appartient à la courbe donc f(- 1 ) = 1  soit a - b + c = 1

2. En cumulant les trois conditions, on obtient le système demandé

- 6 a + b = 0 donc b = 6 a

-  2 a + b = 4 donc en remplaçant - 2 a + 6 a  = 4 soit 4 a = 4 donc a = 1 donc b = 6

a - b + c = 1 donc 1 - 6 + c = 1 soit c = 6

f(x) = x^2 + 6 x + 6