Bonjour,
Montrons par récurrence la propriété:
P(n): " Pour tout entier n > 0, 17 | 3 x [tex]5^{2n-1}[/tex] + [tex]2^{3n - 2}[/tex] "
*Pour n = 1, 3 x [tex]5^{2-1}[/tex] + [tex]2^{3 - 2}[/tex] = 15 + 2 = 17 et 17 | 17 donc P(1) est vraie.
*Supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie:
3 x [tex]5^{2(n+1)-1}[/tex] + [tex]2^{3(n+1) - 2}[/tex] = 3 x [tex]5^{2n+1}[/tex] + [tex]2^{3n + 1}[/tex]
= 3 x 5² x [tex]5^{2n-1}[/tex] + [tex]2^3[/tex] x [tex]2^{3n - 2}[/tex]
= 75 x [tex]5^{2n-1}[/tex] + 8 x [tex]2^{3n - 2}[/tex]
= (8 x 3 + 51) x [tex]5^{2n-1}[/tex] + 8 x [tex]2^{3n - 2}[/tex]
= 8 x 3 x [tex]5^{2n-1}[/tex] + 8 x [tex]2^{3n - 2}[/tex] + 51 x [tex]5^{2n-1}[/tex]
= 8(3 x [tex]5^{2n-1}[/tex] + [tex]2^{3n - 2}[/tex]) + 17 x 3 x [tex]5^{2n-1}[/tex] #On a fait apparaître l'hypothèse de récurrence !
Par hypothèse de récurrence,
17 | 8(3 x [tex]5^{2n-1}[/tex] + [tex]2^{3n - 2}[/tex])
Et 17 | 17 x 3 x [tex]5^{2n-1}[/tex]
Donc 17 | 8(3 x [tex]5^{2n-1}[/tex] + [tex]2^{3n - 2}[/tex]) + 17 x 3 x [tex]5^{2n-1}[/tex]
Ainsi, P(n+1) est vrai.
*Par récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout entier n > 0.
Bonne journée,
Thomas
