Réponse :
Bonsoir,
Incalculable sans la formule donnée ?
1000 étages
Etage du haut : 1 triangle de 3 cartes
Etage inférieur : 2 triangles de 3 cartes
Etage inférieur : 3 triangles de 3 cartes
...
Avant-dernier étage : 999 triangles de 3 cartes
Dernier étage (celui du bas) : 1000 "triangles" de seulement 2 cartes, soit 2000 cartes.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 994 + 995 + 996 + 997 + 998 + 999 = ?
L'astuce consiste à écrire cette somme en double avec la seconde dans le sens décroissant :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 994 + 995 + 996 + 997 + 998 + 999 = ?
999 + 998 + 997 + 996 + 995 + 994 + ... + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = ?
L'addition de ces deux sommes identiques va se simplifier :
(1+999) + (2+998) + (3+997) + (4+996) + (5+995) + (6+994) + ... + (994+6) + (995+5) + (996+4) + (997+3) + (998+2) + (999+1) = 999 x 1000
Comme il s'agit du double de la somme des triangles des 999 étages supérieurs, il suffit de diviser par 2 pour obtenir la valeur de cette somme :
999 x 1000 / 2 = 999 x 500
Pour avoir le nombre de cartes de ces triangles, on multiplie par 3 :
999 x 500 x 3 = 999 x 1500
Il reste à ajouter les 2000 cartes consommées par la base de la construction :
999 x 1500 + 2000 = 999 x 1500 + 1500 + 500 = 1500 (999 + 1) + 500
999 x 1500 + 2000 = 1500 x 1000 + 500 = 1500500
On a trouvé le nombre de cartes d'un château de 1000 étages.
Résultat identique en utilisant la formule donnée (3 x² + x) / 2 et en remplaçant x par 1000.
On aurait pu aussi faire la démonstration de la formule :
[tex]\frac{3 n (n + 1)}{2} - n[/tex]
" n (n + 1) / 2" connue comme la somme des n premiers entiers naturels
Multiplication par 3 car 3 cartes par triangle
et - n pour enlever 1 carte à chacun des n triangles du bas.
