Bonjour,
1,
Un cours de Yoga coute 2 dols et le nombre de cours est y.
Un cours de Zumba coute 1 dol et le nombre de cours est z.
Le budget total est 80 dols donc on peut écrire
[tex]\boxed{2y+z=80}[/tex]
Ce qui donne la contrainte
[tex]\boxed{y = f(z)=40-\dfrac{z}{2}}[/tex]
C'est une droite à tracer qui passe par les points (0,40) et (80,0)
MRT = 1/2
c'est la pente de la droite.
C'est le cout d'opportunité ou taux de transformation.
Si j'augmente de 2 le nombre de cours de Zumba je dois diminuer de 1 le nombre de cours de Yoga.
+ 2 z -> -2 * MRT y = - y
24 cours de Yoga et 40 cours de Zumba , c'est hors budget, ça fait 24 * 2 + 40 = 88 > 80
2.
Nous avons U(y,z) et y= f(z)
[tex]\dfrac{dU}{dz}=y^2 \\ \\\dfrac{dU}{dy}=2y(z+4) \\ \\\dfrac{dy}{dz}=-\dfrac{1}{2} \\ \\MRS =\dfrac{y^2}{2y(z+4)}=\dfrac{y}{2(z+4)}[/tex]
C'est le taux marginal de substitution vue du côté de la demande.
pour y=24 et z =40 MRS=24/(2*44)=3/11
A utilité constante, je peux substituer 11 cours de yoga contre 3 cours de Zumba.
3.
On soit chercher pour dU/dt=0 =dU/dz+dU/dy dy/dz
ce qui est équivalent à MRT=MRS
[tex]0=y^2-y(z+4) <=> y=z+4[/tex]
Et la contrainte est y =20-z/2
ce qui fait 3/2 z = 20-4=16
z=32/3=10.666...
y=40-16/3=104/3=34.666...
On arrondit à 35 ça fait
35 cours de Yoga
10 cours de Zumba
4.
la nouvelle contrainte est 2y+6z=40
y = 20-3z
MRT=3
et
[tex]0=y^2-6y(z+4) <=> y=6z+24[/tex]
et donc 20-3z=6z+24 <=> 9z=-4
Donc elle ne prend que des cours de Yoga.
ça fait longtemps que je n'ai pas fait d'optimisation sous contraintes, donc à prendre avec précaution.
Merci
