Réponse :
1) déterminer g '(2) par lecture graphique
g '(2) = a = 6/-2 = - 3 "a" étant le coefficient directeur de la tangente
2) calculer g '(x) puis calculer g '(2)
g est dérivable sur I = 1 ; + ∞[
g '(x) = [(- 2 x + 2)(x - 1) - (- x² + 2 x + 1)]/(x - 1)²
= (- 2 x² + 4 x - 2 + x² - 2 x - 1)/(x - 1)²
g '(x) = (- x² + 2 x - 3)/(x - 1)²
g '(2) = (- 2² + 2*2 - 3)/(2 - 1)² = - 4 + 4 - 3 = - 3
donc g '(2) = - 3
vérifier la cohérence avec la réponse à la question 1
g '(2) calculé est le même que celui déduit par lecture graphique
4) a) vérifier que pour tout x de I, g(x) = - x + 1 + 2/(x - 1)
- x + 1 + 2/(x - 1) = - x(x - 1)/(x - 1) + (x - 1)/(x - 1) + 2/(x - 1)
= (- x(x - 1) + (x - 1) + 2)/(x - 1)
= (- x² + x + x - 1 + 2)/(x - 1)
= (- x² + 2 x + 1)/(x - 1) = g(x)
donc pour tout x de I; g(x) = - x + 1 + 2/(x - 1)
b) calculer g '(x) avec cette expression et vérifier la cohérence avec la réponse de la question 2
g '(x) = - 1 + 0 + (- 2)/(x - 1)²
= - (x - 1)²/(x - 1)² - 2/(x - 1)²
= (- (x - 1)² - 2)/(x - 1)²
= (- (x² - 2 x + 1) - 2)/(x - 1)²
= (- x² + 2 x - 1 - 2)/(x - 1)²
g '(x) = (- x² + 2 x - 3)/(x - 1)²
on retrouve la même dérivée g '(x) que celle de la question 2
5) a) Montrer que T a pour équation réduite y = - 3 x + 7
y = g(2) + g '(2)(x - 2)
g '(2) = - 3
g(2) = - 2 + 1 + 2 = 1
donc y = 1 - 3(x - 2) = 1 - 3 x + 6 = - 3 x + 7
b) démontrer que C est au-dessus de T sur I
g(x) - y ≥ 0 ⇔ - x + 1 + 2/(x - 1) - (- 3 x + 7) ≥ 0
⇔ - x + 1 + [2/(x - 1)] + 3 x - 7 ≥ 0
⇔ 2 x - 6 + (2/(x - 1)) ≥ 0
⇔ ((2 x - 6)(x - 1) + 2)/(x - 1) ≥ 0
= (2 x² - 8 x + 8)/(x - 1) ≥ 0
= 2(x² - 4 x + 4)/(x - 1) ≥ 0
= 2(x - 2)²/(x - 1) ≥ 0 or 2(x - 2)² ≥ 0 et x ∈ ]1 ; + ∞[ ⇔ x > 1 donc (x - 1) > 0
donc g (x) - y ≥ 0 la courbe est au-dessus de T pour tout x de I
Explications étape par étape