Réponse :
1) a) a = 5 kg et b = 5 kg : le point O est au milieu de AB
5 x OA = 5 x OB or AB = OA+OB ⇔ OA = AB - OB
5 x (AB - OB) = 5 x OB ⇔ 5 x AB - 5 x OB = 5 x OB
⇔ 10 x OB = 5 x AB ⇔ OB = 5 x AB/10 = AB/2 et OA =,AB - AB/2 = AB/2
b) a = 2 kg et b = 3 kg
2 x OA = 3 x OB ⇔ 2 x(AB - OB) = 3 x OB ⇔ 2 x AB - 2 OB = 3 x OB
⇔ 5 x OB = 2 x AB ⇔ OB = 2/5) x AB et OA = AB - 2/5)AB = 3/5) AB
on placera O à 3/5 de A et 2/5 de B
.....Ax...|....|....|O..|.....|B.....
3/5 2/5
c) a = 7 kg et b = 3 kg
7 x OA = 3 x OB ⇔ 7 x(AB - OB) = 3 x OB ⇔ 7 x AB - 7 OB = 3 x OB
⇔ 10 x OB = 7 x AB ⇔ OB = 7/10) x AB et OA = AB - 7/10)AB = 3/10)AB
.A....|....|....|O.|....|....|....|....|....|.....|B..........
3/10 7/10
on doit placer le point O à 3/10 de AB à partir de A
2) a) a = 3 kg et b = 5 kg, démontrer que vec(AO) = 5/8)vec(AB)
3vec(OA) + 5vec(OB) = vec(0)
or vec(AB) = vec(AO) + vec(OB) ⇔ vec(OB) = vec(AB) - vec(AO)
⇔ 3vec(OA) + 5(vec(AB) - vec(AO)) = 0
⇔ 3vec(OA) + 5vec(AB) - 5vec(AO) = 0
⇔ - 3vec(AO) + 5vec(AB) - 5vec(A0) = 0
⇔ - 8vec(AO) + 5vec(AB) = 0 ⇔ 8vec(AO) = 5vec(AB)
donc vec(AO) = 5/8)vec(AB)
...A...|...|...|...|...|O...|....|...|B.....................
5/8 3/8
b) a = 8 et b = 4 ; démontrer que vec(AO) = 1/3)vec(AB)
8vec(OA) + 4vec(OB) = vec(0)
vec(AB) = vec(AO) + vec(OB) ⇔ vec(OB) = vec(AB) - vec(AO)
8vec(OA) + 4(vec(AB) - vec(AO)) = 0
⇔ 8vec(OA) + 4vec(AB) - 4vec(AO) = 0
⇔ - 8vec(AO) + 4vec(AB) - 4vec(AO) = 0
⇔ - 12vec(AO) + 4vec(AB) = 0
⇔ 12 vec(AO) = 4 vec(AB) ⇔ vec(AO) = 4/12)vec(AB)
vec(AO) = 1/3)vec(AB)
.......A.... |O.....|.........|B....
1/3 2/3
c) essaie de faire le c en s'inspirant de la méthode ci-dessus
Explications étape par étape