Bonjour,
1.
[tex]X=x+\dfrac{a}{3} <=> x= X-\dfrac{a}{3}\\ \\ x^3=X^3-X^2a+Xa^2-\dfrac{a^3}{27}\\ax^2=aX^2+\dfrac{a^3}{9}-\dfrac{2a^2X}{3}\\\\x^3+ax^2+bx+c=X^3-X^2a+Xa^2-\dfrac{a^3}{27}+aX^2+\dfrac{a^3}{9}-\dfrac{2a^2X}{3}+bX-\dfrac{ab}{3}+c[/tex]
Ce qui devient
[tex]X^3+(a^2-\dfrac{2a^2}{3}+b)X+\dfrac{27c-9ab-a^3+3a^3}{27}\\ \\\\\boxed{\sf \bf X^3+\dfrac{a^2+b}{3}X+\dfrac{2a^3-9ab+27c}{27}}[/tex]
2.
a)
L'équation devient
[tex]X^3=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)\\ \\X^3+pX+q=u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0\\ \\\boxed{u^3+v^3+q} +(\boxed{3uv+p})(u+v)=0[/tex]
Nous voyons bien que si
[tex]\begin{cases}u^3+v^3+q&=0\\3uv+p&=0\end{cases} \\ \\<=>\begin{cases}u^3+v^3&=-q\\uv&=-p/3\end{cases}[/tex]
Alors X est solution de (E')
b)
[tex]\begin{cases}u^3+v^3&=-q\\uv&=-p/3\end{cases}\\\\<=> \begin{cases}U+V=u^3+v^3&=-q\\UV=(uv)^3&=-p^3/27\end{cases}[/tex]
c)
Nous savons du cours que, U et V sont alors solutions de l'équation
[tex](x-U)(x-V)=x^2-(U+V)x+UV=x^2+qx-\dfrac{p^3}{27}=0[/tex]
Utilisons le discriminant pour déterminer les racines.
Tout d'abord comme il est supposé que
[tex]\Delta=q^2+4p^3/27=\dfrac{27q^2+4p^3}{27}>0[/tex]
Alors cette équation admet deux solutions réelles qui sont
[tex]U=\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}\\ \\V=\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}[/tex]
d)
Et du coup comme
[tex]X=u+v \\\\X=\sqrt[3]{U}+\sqrt[3]{V}\\ \\X = \sqrt[3]{\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}[/tex]
Merci
