Bonjour,
a) On a : [tex]u_0=1=4 \times 2^{0+1}-7 \times 3^0[/tex] donc P(0) est vraie.
De plus, [tex]u_1=-5=4\times 2^{1+1}-7 \times 3^1[/tex] donc P(1) et également vraie.
b) Soit k un entier naturel tel que P(k) et P(k+1) soient vraies. Montrons P(k+2).
On a, par définition de [tex](u_n)[/tex] :
[tex]u_{k+2}=5u_{k+1}-6u_k[/tex]
donc, par HR, [tex]u_{k+2}=5(4\times 2^{k+2}-7 \times 3^{k+1})-6(4\times 2^{k+1}-7 \times 3^k)[/tex].
Ainsi : [tex]u_{k+2}=10\times 2^{k+3}-35 \times 3^{k+1}-6\times 2^{k+3}+14 \times 3^{k+1}=4 \times 2^{k+3}-21 \times 3^{k+1}[/tex]
d'où : [tex]\boxed{u_{k+2}=4 \times 2^{k+3}-7 \times 3^{k+2}}[/tex], d'où P(k+2).
c) Par le principe de récurrence double, pour tout entier naturel n, P(n) est vraie.
