Bonjour !
Donc :
Premier coureur : 1min 15sec pour 1 tour = 75 sec pour 1 tour.
Deuxième coureur : 1min 20sec pour 1 tour = 80 sec pour 1 tour.
Après combien de temps le coureur le moins rapide sera doublé pour la première fois au niveau de la ligne de départ ?
Nommons ce temps t.
Donc au moment t, les deux coureurs ont fait chacun un nombre entier de tours.
Donc t/75 = un nombre entier, t/80 = un autre nombre entier.
Autrement dit, t est multiple de 75 et 80.
Il existe une infinité de nombre multiples de 75 et 80, comme il existe un nombre infini de nombre multiples de 2 et 3 (6, 12, 18, 24...).
Mais on a : ...sera doublé pour la première fois...
Donc on cherche le plus petit multiple de 75 et 80, donc le PPCM de 75 et 80.
Alors :
75 = 3 * 25 = 3 * 5²
80 = 8 * 10 = 2³ * 5 * 2 = 2⁴ * 5
Donc t = PPCM(75, 80) = 2⁴ * 3 * 5² = 1200
Le plus lent sera doublé pour la première fois au niveau de la ligne d'arrivée après 1200 secondes donc après 20 minutes.
A ce moment, combien de tours chacun aura-t-il fait ?
Chacun a couru pendant 1200 secondes, donc :
Le premier a fait : 1200/75 = 16 tours.
Le second a fait : 1200/80 = 15 tours.
Voilà !