Bonjour,
1. Remplaçons x par [tex]\sqrt{2}[/tex]
[tex]\sqrt{2}^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{2}+\sqrt{6}\\\\=2-2-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{6}\\\\=-\sqrt{2\times3}+\sqrt{6}=0[/tex]
Donc [tex]\sqrt{2}[/tex] est bien solution de l'équation.
Faisons de même avec [tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]\sqrt{3}^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{3}+\sqrt{6}\\\\=3-\sqrt{2}\sqrt{3}-3+\sqrt{6}\\\\=-\sqrt{2\times3}+\sqrt{6}=0[/tex]
Donc [tex]\sqrt{3}[/tex] est aussi solution de l'équation.
On aurait pu aussi le voir comme la somme des racines est [tex]\sqrt{2}[/tex]+[tex]\sqrt{3}[/tex] et le produit [tex]\sqrt{2\times3}[/tex]
2.
Du coup, nous pouvons écrire cette équation
[tex]x^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})[/tex]
Mais nous pouvons aussi utiliser le discriminant
[tex]\Delta=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-4\sqrt{6}=2+3+2\sqrt{6}-4\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}\\\\x_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}=\sqrt{3}\\ \\x_2=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}=\sqrt{2}[/tex]
Donc
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{5-2\sqrt{6}}=x_1-x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
Merci
