Bonjour,
Nous allons démontrer par récurrence que
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} (-1)^kk^2=n(2n+1)[/tex]
Etape 1 - initialisation
pour n = 1 ça donne:
pour l'expression de gauche : -1+4=3
pour l'expression de droite 1*(2+1)=3
C'est donc vrai au rang n = 1
Etape 2 - Hérédité
Supposons que ce soit vrai au rang p et montrons le au rang p+1
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{2(p+1)} (-1)^kk^2=\sum_{k=1}^{2p+2} (-1)^kk^2=\\\\=\sum_{k=1}^{2p} (-1)^kk^2+(-1)^{2p+1}(2p+1)^2+(-1)^{2p+2}(2p+2)^2\\\\=\sum_{k=1}^{2p} (-1)^kk^2+(2p+2)^2-(2p+1)^2[/tex]
Utilisons l'hypothèse de récurrence cela donne
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{2p} (-1)^kk^2+(2p+2)^2-(2p+1)^2\\\\=p(2p+1)+4p^2+8p+4-4p^2-4p-1\\\\=p(2p+1)+4p+3\\\\=2p^2+5p+3[/tex]
Or
[tex](p+1)(2(p+1)+1)=(p+1)(2p+3)=2p^2+5p+3[/tex]
Donc il y a égalité des deux expressions et nous venons de démontrer que si c'est vrai au rang p alors c'est vrai au rang p+1
Etape 3 - Conclusion
La démonstration par récurrence est terminée, nous pouvons conclure que comme la proposition est vraie au rang 1 et que, quelque soit p entier différent de 0, si elle est vraie au rang p elle est vraie au rang p+1 alors la proposition est vraie pour tout n entier différent de 0.
Merci
