Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Pour l'exercice 2, je ne peux pas t'aider : tu n'as pas mis l'énoncé.
ex 3:
1)
[tex]j=\dfrac{-1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} *i=\dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{3}*i )\\\\j^2=\dfrac{1}{4}(1-3-2\sqrt{3}*i)=-\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{3} *i)\\\\j^3=\dfrac{-1}{4}*(1+\sqrt{3} *i)*(-1+\sqrt{3}*i )=\dfrac{-1}{4}(-3-1)=1\\[/tex]
Comme j^3=1, j est l'une des racines cubiques de l'unité.
On peut exprimer j^n sous sa forme trigonométrique en utilisant la formule de Moivre par
j^n=1*(cos(2pi*n/3)+i*sin(2pi*n/3) )
ou par une définition fonctionnelle :
j^n=
si n € 3N alors 1
sinon si n € 3N+1 alors 0.5*(-1+i*V3)
sinon -0.5*(1+i*V3)
Je laisse le soin à Olivier de définir J^n de manière plus adéquate ou de supprimer ma réponse .
2)
[tex]j^2+j+1=-\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{3} *i)+\dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{3}*i )+1=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1=0\\[/tex]
3)
[tex]j^{2021}=j^2*{j^{673}}^3=j^2*1=j^2\\\\S=1+j+j^2+...+j^{2020}=\dfrac{j^{2021}-1}{j-1} \\\\=\dfrac{j^2-1}{j-1} \\\\=j+1\\\\=\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}*i}{2}[/tex]
