Bonjour,
Exo1
A=6n+12=2(3n+6) donc A est pair
[tex]B=n^2+3n=n(n+3)[/tex]
Si n est pair B est pair
Si n est impair n+3 est pair et donc B est pair
Donc B est pair
[tex]C=n(n+1)+2n^2=n(n+1+2n)=n(3n+1)[/tex]
Si n est pair alors C est pair
Si n est impair il existe k entier tel que n = 2k+1 et alors 3n+1=6k+3+1=6k+4=2(3k+2) donc est pair et donc C est pair
donc C est pair
[tex]D=n^2+5n+6=(n+2)(n+3)[/tex]
Si n est pair, n+2 est pair et donc D est pair
si n est impair n+3 est pair et donc D est pair
donc D est pair
[tex]E=n^2+3n=n(n+3)[/tex]
Si n est pair, alors E est pair
si n est impair n+3 est pair et donc E est pair
donc E est pair
[tex]F=4n^2+8n+3=(2n+1)(2n+3)[/tex]
2n+1 et 2n+3 sont impairs donc F est impair
Exo 2
1) Soit n un entier
Le reste de la division euclidienne de n par 3 est 0, 1, ou 2
Donc nous avons uniquement trois cas de figure:
Soit n est un multiple de 3
Soit n+1 est un multiple de 3
Soit n+2 est un multiple de 3
Ainsi dans tous les cas n(n+1)(n+3) est un multiple de 3
2) [tex]8\times 2^n-2^{n+1}=2^n(8-2)=6\times 2^n=3\times 2^{n+1}[/tex]
Donc c'est un multiple de 3
3)
10 = 1 * 2 * 5
[tex]A=\dfrac{5n+15}{n+1}=\dfrac{5n+5+10}{n+1}=\dfrac{5(n+1)}{n+1}+\dfrac{10}{n+1}\\\\=5+\dfrac{10}{n+1}[/tex]
Il faut que n+1 soit un diviseur de 10 donc n doit être 0, 1, 4, ou 9
Exo 3
287 = 7 * 41
donc il n'est pas premier
41 est un nombre premier, 7 aussi donc nous avons tous les diviseurs
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)=287=41\times 7[/tex]
cas 1 a-b = 1 a+b = 287
a = 1 + b
a+b=2b+1=287 <=> b = 286/2 = 143
et a = 144
cas 2 a-b = 7 a+b = 41
a=7+b
a+b=7+2b=41 <=> 2b = 34 <=> b = 34/2=17
a = 17 + 7 = 24
cas 3 a-b=41 a+b=7
a = 41 +b
a+b=41+2b=7 <=> 2b = -34 <=> b = -17 < 0
cas 4 a-b=287 a+b=1
a = 287+b
a+b=287+2b=1 <=> 2b = -286 <0
Donc les solutions sont
(144,143) et (24,17)
Merci
