Réponse : Bonjour,
1) 1200 clients se sont présentés, donc 1200 forfaits ont été vendus, donc i+s=1200.
Le forfait initiation étant vendu 10 euros, alors la recette totale pour les forfaits initiations est 10i
Le forfait sportif étant vendu 15 euros, alors la recette totale pour les forfaits initiations est 15s.
La recette totale étant de 15330 euros, alors on a 10i+15s=15330.
On obtient donc bien le système (S).
2) Le système (S) s'écrit:
[tex]\left[\begin{array}{cc}1&1\\10&15\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}i\\s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1200\\15330\end{array}\right][/tex]
Donc:
[tex]A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\10&15\end{array}\right] \\B=\left[\begin{array}{cc}1200\\15330\end{array}\right][/tex]
3) Pour montrer que A est inversible, on calcule son déterminant:
[tex]\det A=15-10=5 \ne 0[/tex]
Comme [tex]\det A \ne 0[/tex], alors A est inversible.
D'après une formule sur l'inverse du matrice [tex]2 \times 2[/tex]:
[tex]\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A} \left[\begin{array}{cc}15&-1\\-10&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&-\frac{1}{5} \\-2&\frac{1}{5} \end{array}\right][/tex]
4) La solution du système AX=B, est [tex]X=A^{-1}B[/tex], donc:
[tex]\displaystyle X=\left[\begin{array}{cc}3&-\frac{1}{5} \\-2&\frac{1}{5} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1200\\15330\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3 \times 1200-\frac{1}{5} \times 15330 \\-2 \times 1200+\frac{1}{5} \times 15330 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}534\\666\end{array}\right][/tex]
Donc 534 forfaits initiations et 666 forfaits sportifs ont été vendus.
