Bonjour,
■ Exercice numéro 7 :
n³ - n = n(n² - 1) = n(n -1)(n + 1)
donc n³ - n est le produit de 3 entiers consécutifs, il y en a donc forcément un paire et un autre multiple de 3 d'où n³ - n est divisible par 6
n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = (n - 1)n(n + 1)(n² + 1)
or (n² + 1) = (n² - 4 + 5) = (n - 2)(n + 2) + 5
ainsi n⁵ - n = (n - 2)(n -1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n -1)n(n + 1)
(n - 2)(n -1)n(n + 1)(n + 2) = 5k puisqu'il s'agit du produit de 5 entiers consécutifs on a donc n⁵ - n = 5(n -1)n(n + 1)k soit n⁵ - n est un multiple de 5
5(n -1)n(n + 1) représente le produit de 5 par 3 entiers consécutifs or d'après 1. Le produit de 3 entiers consécutifs est un multiple de 6 d'où n⁵ - n est un multiple de 6.
n⁷ - n = n(n - 1)(n + 1)((n +3)(n - 2) + 7)((n + 2)(n - 3) +7)
Je vais te mettre sur la bonne piste regarde ce que je mets en gras et ce qui ne l'ai pas :
n(n - 1)(n + 1)((n +3)(n - 2) + 7)((n + 2)(n - 3) + 7)
a ton avis à quoi correspond : n(n - 1)(n + 1)(n +3)(n - 2)(n + 2)(n - 3) ?
On peut également utiliser les congruences si tu as étudier ce chapitre.
