Bonjour,
Si je remplace x par 1 au dénominateur ça donne 1-(p+1)+p=0
et au dénominateur 0
C'est une forme indéterminée
Et si on mettait (x-1) en facteur au numérateur?
[tex]x^{p+1}-(p+1)x+p=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+...+x-p)[/tex]
Et si je remplace x par 1 dans le deuxième terme ça me donne
1+1+.....+1-p=0
Je peux mettre (x-1) en facteur à nouveau
[tex]x^{p+1}-(p+1)x+p=(x-1)(x-1)(x^{p-1}+2x^{p-2}+3x^{p-3}+...+(p-1)x+p)[/tex]
Et la fraction devient,
[tex]\displaystyle x^{p-1}+2x^{p-2}+3x^{p-3}+...+(p-1)x+p=\sum_{k=1}^{p} \ kx^{p-k}\\\\\text{ Pour }x=1\text{ ca donne}\\\\\sum_{k=1}^{p} \ k1^{p-k}=\sum_{k=1}^{p} \ k=\dfrac{p(p+1)}{2}[/tex]
C'est donc la limite recherchée
C'est la même méthode pour l'autre limite.
MErci
