Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1) il suffit de remplacer dans f(x)=x*e^(ax+b)
f(100)=100*e^(100a+b)=100
donc e^(100a+b)=100/100=1 ce qui signifie que 100a+b=0 (car e^0=1)
f(50)=50*e^(50a+b)=50/Ve soit e^(50a+b)=e^-0,5 donc 50a+b=-0,5
2) Résolution du système c'est du niveau de 3ème
b=-100a
50a-100a=-0,5 donc a=0,01 et b=-1
f(x)=x*e^(0,01x-1)
3)limite en +oo
x tend vers +oo , e^(0,01x-1) tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo
4) e^(0,01x-1)=(e^01x)*(e^-1)=(e^0,01x)/e et 1=100*0,01
d'où f(x)=(100/e)*0,01x*e^0,01x
5)Cette écriture ne change en rien le problème de la limite en-oo
On a toujours -oo*0+ (FI) tu as dû voir en cours que la limite de x*e^x en -oo est 0- (croissances comparées)
donc si x tend vers -oo f(x) tend vers 0-
6)tableau de variations pour cela il nous faut calculer la dérivée et son signe sur R (car f(x) est définie sur R)
Dérivée f'(x)=1*e^(0,01x-1) +0,01x*e^0,01x-1)=(1+0,01x)*e^(0,01x-1)
f'(x)=0 pour 1+0,01x=0 soit x=-100
tableau de signes de la dérivée et de variations de la fonction
x - oo -100 +oo
f'(x)...................-........................0............................+.........................
f(x) 0-.........décroi.................f(-100).........croi...............................+oo
f(-100)=-100*e^(-2) =-100/e²=-13,5 (environ); au passage on note que f(0)=0
