1. x appartient à [0;5] car 0 ≤ BN ≤10
2. Aire(DMN) = Aire(ABCD) - Aire(ADM) - Aire(MBN) - Aire(DCN)
si x = 1 on a
AM = 1
MB = 9
BN = 2
NC = 8
CD = AD = 10
Aire(DMN) = AB² - AD×AM/2 - MB×BM/2 - NC×CD/2
Aire(DMN) = 10² - 10×1/2 - 9×2/2 - 8×10/2
Aire(DMN) = 46
3.
si x appartient à [0; 5] on a
AM = x
MB = 10-x
BN = 2x
NC = 10-2x
CD = AD = 10
Aire(DMN) = 10² - 10×x/2 - (10-x)(2x)/2 - (10-2x)×10/2
Aire(DMN)= 100 - 5x - 10x + x² - 50 + 10x
Aire(DMN) = x² - 5x + 50
x² - 5x + 50 = (x-2,5)² - 2,5² + 50
x² - 5x + 50 = (x-2,5)²+ 43,75
On note A(x) l'aire du triangle DMN
A(x) = (x-2,5)²+43,75
A(x) est la forme canonique d'un polynôme du second degré dans lequel a=1. La parabole représentant A(x) est orientée vers le haut et A(x) admet un minimum de 43,75 en x = 2,5.
(on peut dresser le tableau de variation de A(x))
L'aire de DMN est minimale pour x = 2,5
