Réponse :
Bonjour :)
Explications étape par étape
Pour tout entier naturel n, notons Pnla propriété : 2n≥n+1.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, Pn est vraie.
Initialisation :
On a: 2^0=1 , et 0+1=1.
Donc 20≥0+1, et donc P0 est vraie.
Hérédité : Soit n un entier naturel, supposons que Pn soit vraie.
On a donc: 2^n≥n+1.
Nous voulons prouver que Pn+1 est vraie, c'est à dire que:
2^n+1≥n+1+1.
Nous allons faire "apparaître" 2^n+1 à gauche de l'inégalité d'origine.
On obtient immédiatement: 2×2^n≥2×(n+1) (car 2 est strictement positif).
Soit: 2n+1≥2n+2
Il suffit dont de prouver que 2n+2≥n+1+1
Or cette inégalité équivaut à 2n−n≥1+1−2, soit: n≥0, ce qui est vrai!
Donc l'inégalité 2n+2≥n+1+1 est vraie, et par là, on obtient:
2^(n+1)≥2n+2≥n+1+1
Et donc: 2^n+1≥n+1+1
Et par là: Pn+1 est vraie.
Conclusion: pour tout naturel n, 2n≥n+1.
Bonne journée
