Réponse :
b) démontrer que AMN est un triangle équilatéral
AMN est un triangle isocèle car AM = AN donc l'angle ^AMN = ^ANM
l'angle ^MAN = ^BAC = 60° (angle commun aux 2 triangles)
la somme des angles dans un triangle est égale à 180°
^AMN + ^ANM + 60° = 180° ⇔ 2 x ^AMN = 180° - 60° = 120°
⇔ ^AMN = 120°/2 = 60°
donc ^AMN = ^ANM = ^MAN = 60° donc le triangle AMN est équilatéral
c) Montrer que H est le milieu du segment (AM)
NAM est un triangle équilatéral en N donc la hauteur NH issue de N est aussi médiatrice du segment (AM) donc (NH) ⊥ (AM) et HM = HA
donc H est le milieu du segment (AM)
d) A l'aide du th.Pythagore démontrer que :
HN = (√(3)/2) x
AN² = HN² + HA² ⇔ HN² = AN² - HA² = x² - (x/2)² = x² - (x²/4) = 3 x²/4
⇒ HN = √(3 x²/4) = √(3)/2) x x ≥ 0
e) démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 10]
BN² = x² - 10 x + 100
Le triangle BNH rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore
BN² = NH² + BH² = 3 x²/4 + (10 - x/2)²
= 3 x²/4 + 100 - 10 x + x²/4
BN² = x² - 10 x + 100
f) répondre alors au problème posé
x² - 10 x + 100 = x² - 10 x + 100 + 25 - 25 = (x² - 10 x + 25) + 75
= (x - 5)² + 75
Donc pour M situé à x = 5 par rapport au point A, la distance BN est minimale = 75
Explications étape par étape
