Réponse :
il faut -3/7 < m < 0 pour obtenir 2 racines positives
Explications étape par étape :
■ Em(x) = -mx² - 3(m+1)x + 3(m+1) = 0
■ si m = zéro :
-3x + 3 = 0 donne x = 1 ( une solution unique )
■ discriminant Δ :
Δ = 9(m+1)² + 4m*3(m+1)
= 9m² + 18m + 9 + 12m² + 12m
= 21m² + 30m + 9
= 3 (7m² + 10m +3)
= 3 (m+1) (7m+3)
Δ strictement positif pour m ∈ ] -∞ ; -1 [ U ] -3/7 ; +∞ [ .
■ racines :
x1 = [ 3(m+1) - √Δ ] / (-2m)
x2 = [ 3(m+1) + √Δ ] / (-2m)
■ on exige m [ 3(m+1) - √Δ ] < 0 ET m [ 3(m+1) + √Δ ] < 0 :
étude du cas m positif :
il faut 3(m+1) - √Δ < 0 ET 3(m+1) + √Δ < 0
3(m+1) < √Δ ET 3(m+1) < -√Δ
impossible !
étude du cas m négatif :
il faut 3(m+1) - √Δ > 0 ET 3(m+1) + √Δ > 0
3(m+1) > √Δ ET 3(m+1) > -√Δ
étude du sous-cas m < -1 :
3(m+1) > √Δ impossible !
étude du sous-cas -3/7 < m < 0 :
9(m+1)² > 3(m+1)(7m+3)
3(m+1) > 7m+3
0 > 4m toujours vérifié !
■ exemples :
m = -2 --> 2x² + 3x - 3 = 0 --> 1 seule racine positive !
m = -0,4 --> 0,4x² - 1,8x + 1,8 = 0 --> 2 racines positives !
m = 1 --> -x² - 6x + 6 = 0 --> 1 seule racine positive !
■ conclusion :
il faut -3/7 < m < 0 pour obtenir 2 racines positives !
