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Bonjour,
pouvez-vous m'aider à l'exercice ci dessous, j'ai trouvé des résultats mais la démarche n'est pas complète.

Soit l'équation (Em) : -mx² +(-3 – 3m)x + 3m + 3 = 0

4) Soit m différent de 0.

d) L'équation (Em) peut-elle avoir deux racines positives ? Si oui pour quelles valeurs de m?​

Sagot :

Réponse :

il faut -3/7 < m < 0 pour obtenir 2 racines positives

Explications étape par étape :

■ Em(x) = -mx² - 3(m+1)x + 3(m+1) = 0

■ si m = zéro :

  -3x + 3 = 0 donne x = 1 ( une solution unique )

■ discriminant Δ :

   Δ = 9(m+1)² + 4m*3(m+1)

       = 9m² + 18m + 9 + 12m² + 12m

       = 21m² + 30m + 9

       = 3 (7m² + 10m +3)

       = 3 (m+1) (7m+3)

   Δ strictement positif pour m ∈ ] -∞ ; -1 [ U ] -3/7 ; +∞ [ .

■ racines :

   x1 = [ 3(m+1) - √Δ ] / (-2m)

   x2 = [ 3(m+1) + √Δ ] / (-2m)

■ on exige m [ 3(m+1) - √Δ ] < 0   ET   m [ 3(m+1) + √Δ ] < 0 :

  étude du cas m positif :

  il faut 3(m+1) - √Δ < 0   ET   3(m+1) + √Δ < 0

            3(m+1) < √Δ         ET   3(m+1) < -√Δ

                                                impossible !

    étude du cas m négatif :

    il faut 3(m+1) - √Δ > 0   ET 3(m+1) + √Δ > 0

              3(m+1) > √Δ        ET   3(m+1) > -√Δ

    étude du sous-cas m < -1 :

              3(m+1) > √Δ impossible !

    étude du sous-cas -3/7 < m < 0 :

              9(m+1)² > 3(m+1)(7m+3)

              3(m+1)  > 7m+3

                      0  > 4m toujours vérifié !

■ exemples :

  m = -2 --> 2x² + 3x - 3 = 0 --> 1 seule racine positive !

  m = -0,4 --> 0,4x² - 1,8x + 1,8 = 0 --> 2 racines positives !

  m = 1 --> -x² - 6x + 6 = 0 --> 1 seule racine positive !

■ conclusion :

   il faut -3/7 < m < 0 pour obtenir 2 racines positives !

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