Réponse :
11) U0 = 3 et pour tout entier naturel n, Un+1 = 2Un + 4
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un > 0
soit P(n) : Un > 0
Initialisation : vérifions que P(0) est vraie
U0 = 3 > 0 donc P(0) est vraie
Hérédité : soit un entier n ≥ 0
supposons P(n) vraie et montrons que P(n+ 1) est vraie
c'est à dire montrons que Un+1 > 0
Un > 0 ⇔ 2Un > 0 ⇔ 2Un + 4 > 4 puisque 2Un + 4 > 4 donc
2Un + 4 > 0 donc Un+1 > 0 donc P(n+1) est vraie
Conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire à partir du rang 0
donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ 0
13) U0 = 2 et Un+1 = Un/(1+Un) pour tout entier naturel n
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un > 0
soit P(n) : Un > 0
Initialisation : vérifions que P(0) est vraie
U0 = 2 > 0 donc P(0) est vraie
Hérédité : soit un entier n ≥ 0
supposons P(n) vraie et montrons que P(n+ 1) est vraie
c'est à dire montrons que Un+1 > 0
Un > 0 ⇔ Un/(1+Un) > 0/(1+Un) ⇔ Un/(1+Un) > 0 donc Un+1 > 0 donc P(n+1) est vraie
Conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire à partir du rang 0
donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ 0
Explications étape par étape
