Bonjour,
1) si m=0, alors l'équation devient:
[tex](E_0) \ : \ -3x+3=0\\ \\<=> -3x=-3 \\\\<=> x = 1[/tex]
L'unique solution est 1
2) Supposons à partir de maintenant que m est différent de 0
a)
[tex]\Delta=(-3-3m)^3-4\times (-m) \times (3m+3)=(3m+3)(3m+3+4m)=3(m+1)(7m+3)\\\\=\large \boxed{\sf \bf 3(7m^2+10m+3)}[/tex]
b) Pour que [tex](E_m)[/tex] admette au moins une solution réelle nous devons avoir son discriminant positif ou nul, donc
[tex](7m^2+10m+3)=(m+1)(7m+3)\geq 0[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}\\m&&-1&&-3/7&\\---&---&---&---&---&---\\m+1&-&0&+&+&+\\---&---&---&---&---&---\\7m+3&-&-&-&0&+\\---&---&---&---&---&---\\\Delta &+&0&-&0&+\\---&---&---&---&---&---\\\end{array}[/tex]
Cela veut dire que
[tex]\large \boxed{\sf \bf m \in ]-\infty;-1]\cup[-3/7;+\infty[}[/tex]
c) Pour qu'il y ait deux solutions distinctes il faut de plus que le discriminant soit différent de 0 donc
[tex]\large \boxed{\sf \bf m \in ]-\infty;-1[\cup]-3/7;+\infty[}[/tex]
Et, dans ce cas, le produit des racines est c/a, donc
[tex]\dfrac{3m+3}{-m}=\boxed{\sf \bf -\dfrac{3(m+1)}{m}}[/tex]
et la somme est -b/a
[tex]\dfrac{3+3m}{-m}=\boxed{\sf \bf -\dfrac{3(m+1)}{m} }[/tex]
Le produit est égale à la somme.
Merci
Réponse :
ex2
soit l'équation (Em) : - m x² + (- 3 - 3 m) x + 3 m + 3 = 0 avec m ∈ R
1) si m = 0 que peut-on dire de l'équation ? résoudre alors cette équation (E0)
si m = 0 ⇒ (E0) : - 3 x + 3 = 0 c'est une équation du 1er degré
-3 x + 3 = 0 ⇔ - 3 x = - 3 ⇔ x = 3/3 ⇔ x = 1
2) soit m ≠ 0
a) Montrer que le discriminant Δ peut se mettre sous la forme :
Δ = 3(7 m² + 10 m + 3)
- m x² + (- 3 - 3 m) x + 3 m + 3 = 0 ⇔ - m x² - 3(1 + m) x + 3(m + 1) = 0
Δ = (3(1+m))² + 12 m(m+1) = 9(1 + 2 m + m²) + 12 m² + 12 m
= 9 + 18 m + 9 m² + 12 m² + 12 m = 21 m² + 30 m + 9
= 3(7 m² + 10 m + 3)
b) pour quelles valeurs de m l'équation (Em) n'admet pas de solutions
Δ < 0 ⇔ 3(7 m² + 10 m + 3) < 0
δ = 100 - 84 = 16 ⇒ √16 = 4
m1 = - 10 + 4)/14 = -6/14 = - 3/7
m2 = - 10 - 4)/14 = - 1
donc pour m > - 1 ou m < - 3/7 ⇔ - 1 < m < - 3/7 (Em) n 'a pas de solutions
c) pour quelles valeurs de m l'équation (Em) admet deux solutions distinctes ?
Δ > 0 ⇔ 3(7 m² + 10 m + 3) > 0
pour m ∈ ]- ∞ ; - 1[U]- 3/7 ; + ∞[ l'équation (Em) admet deux solutions distinctes
quel est alors le produit et la somme des racines en fonction de m
P = c/a = 3(m +1)/- m = - 3(m + 1)/m = - 3 - 3/m
S = - b/a = 3(1+m)/- m = - 3 - 3/m
Explications étape par étape