Bonjour,
1) Il faut penser à faire une récurrence sur n et faire attention aux quantifications lorsqu'on énonce la propriété.
Montrons par récurrence sur [tex]n \ge 1[/tex] la propriété suivante :
H(n):"Soit f un polynôme de degré n. Pour tout réel x, [tex]f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.[/tex]"
Initialisation : n=1
H(1) est vraie car, soit f une fonction polynomiale de degré 1, f s'écrit [tex]x \mapsto ax+b[/tex] avec a et b réels (a non nul), et on a bien :
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\sum_{k=0}^1 \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=f(0)+f'(0)x=b+ax.[/tex]
(C'est même vrai pour n=0...)
Hérédité : Soit [tex]n \ge 1[/tex] tel que H(n) soit vraie, et montrons H(n+1).
Soit f un polynôme de degré n+1.
On veut se ramener à un polynôme de degré n, donc il paraît logique de dériver (cela a un sens car un polynôme est bien dérivable).
En effet, [tex]f'[/tex] est de degré n, donc, par hypothèse de récurrence :
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f'^{(k)}(0)}{k!}x^k=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k+1)}(0)}{k!}x^k[/tex].
On peut ensuite intégrer, en faisant apparaître une constante K. Pour tout réel x :
[tex]f(x)=K+\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k+1)}(0)}{k!}\frac{x^{k+1}}{k+1}=K+\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k+1)}(0)}{(k+1)!}x^{k+1}=K+\sum_{l=1}^{n+1}\frac{f^{(l)}(0)}{(l)!}x^{l}[/tex],
en faisant dans la somme le changement de variable l=k+1.
Il reste à déterminer K, ce qui se fait en évaluant dans le cas particulier où x=0, puisque la somme est alors nulle :
[tex]f(0)=K+0[/tex].
On peut donc rentrer le K dans la somme (terme d'indice k=0):
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{f^{(k)}(0)}{(k)!}x^{k}[/tex]
d'où H(n+1).
Conclusion : Par principe de récurrence, pour tout entier n>0, soit f un polynôme de degré n, alors :
[tex]\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}}[/tex].
2)a) On conjecture facilement les dérivées successives, et on va le montrer par récurrence.
Montrons par récurrence (bornée) sur k ([tex]0 \le k \le n[/tex]) la propriété suivante :
H(k) : "Pour tout réel x, [tex]f^{(k)}(x)=k! \binom{n}{k}(x+b)^{n-k}[/tex]."
Initialision : k=0
Claire.
Hérédité : Soit k ([tex]0 \le k \le n-1[/tex]) tel que H(k) soit vraie, et montrons H(k+1).
Par HR, [tex]\forall x \in \mathbb{R}, f^{(k)}(x)=k! \binom{n}{k}(x+b)^{n-k}[/tex]
donc, en dérivant : [tex]\forall x \in \mathbb{R}, f^{(k+1)}(x)=k! \binom{n}{k}(n-k)(x+b)^{n-k-1}[/tex].
Or, [tex]k!\binom{n}{k}(n-k)=k!\frac{n!}{k!(n-k)!}(n-k)=\frac{n!}{(n-k-1)!}=(k+1)!\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}[/tex]
donc [tex]k!\binom{n}{k}(n-k)=(k+1)!\binom{n}{k+1}[/tex]
d'où : [tex]\forall x \in \mathbb{R}, f^{(k+1)}(x)=(k+1)!\binom{n}{k+1}x^{n-(k+1)}[/tex]d'où H(k+1).
Conclusion : Par principe de récurrence, pour tout entier k ([tex]0 \le k \le n[/tex]),
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, f^{(k)}(x)=k!\binom{n}{k}(x+b)^{n-k}[/tex].
En particulier, pour x=0 : [tex]\boxed{f^{(k)}(0)=k! \binom{n}{k}b^{n-k}}[/tex].
b) Il suffit d'appliquer la formule de la question 1 à la fonction f précédente, en un réel a fixé :
[tex]f(a)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}a^k[/tex][tex]=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}b^{n-k}a^k[/tex]
d'où : [tex]\boxed{(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}[/tex]
et on retrouve bien le binôme de Newton.
