Réponse:
Soit la propriété P(n) :
1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! = (n+1)!-1
initialisation
pour n=1
1×1! = 1×1 =1
et
(1+1)!-1 = 2!-1 = 1×2-1 = 1
P(1) est vraie
hérédité
supposons P(n) vraie pour un entier naturel n non
nul
1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! = (n+1)!-1
1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! + (n+1)×(n+1)! = (n+1)!-1 + (n+1)×(n+1)!
1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! + (n+1)×(n+1)! = (n+1)!×[1 +(n+1)]-1
1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! + (n+1)×(n+1)! = (n+1)!×(n+2)-1
1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! + (n+1)×(n+1)! = (n+2)!-1
P(n+1) est vraie.
conclusion
La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire donc 1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! = (n+1)!-1 est vraie pour tout entier naturel n≥ 1
