Réponse :
EX4
Montrer que pour tout n ≥ 1, 1 + 2² + 3² + .... + n² = n(n+1)(2 n + 1)/6
Raisonnement par récurrence
soit P(n) : 1² + 2² + 3² + ...... + n² = n(n+1)(2 n + 1)/6
1) Initialisation : vérifions que P(1) est vraie
1² + 2² + 3² + ..... + 1² = 1² = 1(1+1)(2*1 + 1)/6 = 2 x 3/6 = 1 donc P(1) est vraie
2) Hérédité : soit un entier n ≥ 1
supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire que
1² + 2² + 3² + ...... + (n+1)² = (n + 1)(n + 2)(2 n + 3)/6
1² + 2² + 3² + ...... + n² + (n + 1)² = n(n + 1)(2 n + 1)/6 + (n + 1)²
= (n(n+1)(2 n + 1) + 6(n+ 1)²)/6
= (n+1)(n(2 n + 1) + 6(n+1))/6
= (n + 1)(2 n² + n + 6 n + 6)/6
= (n+1)(2 n² + 7 n + 6)/6
développons (n+2)(2 n + 3) = 2 n² + 3 n + 4 n + 6 = 2 n² + 7 n + 6
donc 1²+2²+3²+ .....+ (n+1)² = (n+1)(n+2)(2 n +3)/6 ²donc P(n+1) est vraie
3) Conclusion : P(1) est vraie et P(n) est héréditaire à partir du rang 1
donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ 1
Explications étape par étape
