Réponse :
1) en posant t = x² écrire une équation (E2) équivalente à (E1) et résoudre cette équation
(E2) : t² - 6 t + 8 = 0
⇔ t² - 6 t + 8 + 9 - 9 = 0 ⇔ t² - 6 t + 9 - 1 = 0
⇔ (t - 3)² - 1 = (t - 3 +1)(t - 3 - 1) = 0 ⇔ (t - 2)(t - 4) = 0 produit de facteurs nul ⇔ t - 2 = 0 ⇔ t = 2 ou t - 4 = 0 ⇔ t = 4 ⇔ S = {2 ; 4}
2) déduire alors de la question précédente la résolution de (E1)
x² = 2 ⇔ x = √2 ou x = - √2
x² = 4 ⇔ x = 2 ou x = - 2
les solutions de (E1) sont : S = {- 2 ; - √2 ; √2 ; 2}
3) Montrer que x⁴ - 6 x² + 8 = (x² - 4)(x² - 2) et expliquer en quoi cette factorisation permet de vérifier la résolution de l'équation bicarrée
x⁴ - 6 x² + 8 = (x²)² - 6 x² + 8 +9 - 9 = (x²)² - 6 x² + 9 - 1 = (x² - 3)² - 1
= (x² - 3 + 1)(x² - 3 - 1) = (x² - 2)(x² - 4)
cette factorisation nous permet de résoudre (E1) car le produit de facteurs nul donne x² - 2 = 0 ou x² - 4 = 0 on a donc 4 solutions
4) résoudre l'inéquation g(x) < 0
g(x) < 0 ⇔ x⁴ - 6 x² + 8 < 0 ⇔ (x² - 4)(x² - 2) < 0
x - ∞ - 2 - √2 √2 2 + ∞
x² - 4 + 0 - - - 0 +
x² - 2 + + 0 - 0 + +
P + 0 - 0 + 0 - 0 +
l'ensemble des solutions de l'inéquation g(x) < 0 est :
S = ]- 2 ; - √2[U]√2 ; 2[
Explications étape par étape