bjr
f(x) = x³ - 2x² - 5x + 6
a)
f(1) = 1³ - 2*1² - 5*1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 7 - 7 = 0
f(1) est nul, 1 est solution de l'équation f(x) = 0
b)
puisque 1 est solution d'un polynôme de degré 3, celui celui -ci peut s'écrire sous la forme du produit de (x - 1) par un trinôme de degré 2
x³ - 2x² - 5x + 6 = (x - 1)(ax² + bx + c)
(1) (2)
il faut développer (2) et identifier les coefficients des termes de même degrés
quand on développe (2) le terme en x³ est ax³ => a = 1
" constant est -c => -c = 6
c = -6
d'où
x³ - 2x² - 5x + 6 = (x - 1)(x² + bx - 6)
il reste à trouver b
(x - 1)(x² + bx - 6) = x³ + bx² -6x - x² - bx + 6
= x³ + (b - 1)x² + (-6 - b)x + 6
b - 1 = -2
-6 - b = -5
l'une des deux équations suffit b = -1
x³ - 2x² - 5x + 6 = (x - 1)(x² - x - 6)
c)
x² - x - 6 = 0
résolution :
Δ = (-1)² - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25 = 5²
il y a deux racines
x1 = (1 - 5)/2 = -2 et x2 = (1 + 5)/2 = 3
d)
l'équation f(x) = 0 a trois solutions : 1 ; -2 et 3
factorisation
f(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)
