Bonjour,
Montrons par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la propriété H(n):"[tex]w_n=3(1-2^n)[/tex]."
Initialisation : n=0
H(0) est vraie car [tex]w_0=0=3(1-2^0)[/tex].
Hérédité : Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tel que H(n) soit vraie. Montrons H(n+1).
On a : [tex]w_{n+1}=2w_n-3[/tex]
et, par hypothèse de récurrence, [tex]w_n=3(1-2^n)[/tex].
En remplaçant, on obtient :
[tex]w_{n+1}=2\times 3(1-2^n)-3=6-2\times3\times2^n-3=3-3\times2^{n+1}=3(1-2^{n+1})[/tex]
donc H(n+1) est vraie.
Par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier n, c'est-à-dire, pour tout [tex]n \in \mathbb{N} : w_n=3(1-2^n)[/tex].
