Réponse :
1) exprimer, pour tout entier naturel n, Un+1 en fonction de Un
Un+1 = 0.9Un + 100
2) pour tout entier naturel n, on pose Vn = Un - 1000
a) montrer que la suite (Vn) est géométrique, préciser sa raison et son premier terme
Vn+1/Vn = (Un+1 - 1000)/(Un - 1000) = (0.9Un + 100 - 1000)/(Un - 1000)
= (0.9Un - 900)/(Un - 1000) = 0.9(Un - 1000)/(Un - 1000) = 0.9
donc la suite (Vn) est géométrique de raison q = 0.9 et de premier terme
V1 = U1 - 1000 = 600 - 1000 = - 400
b) exprimer Vn puis Un en fonction de n
Vn = V1 x qⁿ⁻¹ donc Vn = - 400 x 0.9ⁿ⁻¹
Vn = Un - 1000 ; d'où Un = Vn + 1000
= - 400 x 0.9ⁿ⁻¹ + 1000
3) lim Un = lim (- 400 x 0.9ⁿ⁻¹ + 1000) or lim -400x 0.9ⁿ⁻¹ = 0
n→+ ∞ n→+∞ n→+∞
donc lim Un = 1000
n→+∞
interpréter le résultat; lorsque le nombre d'année augmente le nombre d'oiseaux reste le même
Explications étape par étape