Bonjour,
1.a.
f(0)=2*0-9*0+14*0-9*0+2=2
Donc 0 n'est pas racine de f
b.
[tex]\forall x \in \mathbb{R}^*\\\\x^4f(\dfrac{1}{x})=x^4\times 2\dfrac{1}{x^4}-9\dfrac{x^4}{x^3}+14\dfrac{x^4}{x^2}-9\dfrac{x^4}{x}+2x^4\\\\=2-9x+14x^2-9x^3+2x^4\\\\=2x^4-9x^3+14x^2-9x+2\\\\=f(x)[/tex]
c.
Utilisons le résultat de la question précédente,
[tex]\text{Si }\alpha \text{ est une racine non nulle, alors}\\\\f(\alpha)=0=\alpha^4f(\dfrac{1}{\alpha})[/tex]
Comme [tex]\alpha[/tex] est non nul [tex]\alpha^4[/tex] est différent de 0 et donc cela implique que
[tex]f(\dfrac{1}{\alpha})=0[/tex]
Ce qui veut dire que
[tex]\dfrac{1}{\alpha}[/tex]
est aussi une racine de f.
2.
[tex]\forall x \in \mathbb{R}^*\\\\f(x)=2(x^4+1)-9(x^3+x)+14x^2=0\\\\\text{Nous pouvons diviser par }x^2 \\ \\<=>2(x^2+\dfrac{1}{x^2})-9(x+\dfrac{1}{x})+14=0[/tex]
Nous devons tout de même parler du cas ou x = 0 comme avec le 1.a. nous savons que 0 n'est pas une solution du coup il est légitime de prendre x différent de 0.
3.a.
[tex]\forall x \in \mathbb{R}^*\\ \\u^2=x^2+2\times x \times \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2[/tex]
Autrement dit,
[tex]x^2+\dfrac{1}{x^2}=u^2-2[/tex]
b. On peut donc re écrire (E) en utilisant u
[tex]2(u^2-2)-9u+14=0\\ \\2u^2-9u+14-4=0\\ \\2u^2-9u+10=0[/tex]
c.
La méthode la plus simple est d'appliquer la formule du discriminant.
[tex]\Delta=9^2-4*2*10=81-80=1\\ \\u_1=\dfrac{9-1}{4}=\dfrac{8}{4}=2 \\ \\u_2=\dfrac{9+1}{4}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}[/tex]
d.
Nous devons trouver x non nul tel que
[tex]x+\dfrac{1}{x}=2<=>x^2+1=2x<=>x^2-2x+1=(x-1)^2=0<=>x=1 \\\\x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{2}<=>2x^2+2=5x<=>2x^2-5x+2=0\\\\<=>(2x-1)(x-2)=0<=> x=\dfrac{1}{2} \ ou \ x = 2[/tex]
Si jamais la factorisation ne te parait pas évidente tu peux toujours utiliser la formule du discriminant.
Et donc les solutions de f(x)=0 sont
[tex]\Large \boxed{\sf \bf \ x=1; \ x=2; \ x=\dfrac{1}{2} \ }[/tex]
Merci
