Réponse :
Bonsoir
On va raisonner par l'absurde, on part donc de l'hypothèse que √2 peut s'écrire sous la forme d'un quotient de 2 entiers p et q, premiers entre eux
1) √2 = p/q ⇔ p = q√2 ⇔ p² = 2q²
2) p² = 2q² donc p² est pair(comme produit d'un entier et de 2)
On a admis que ,pour un entier n ,si n² est pair ,alors n est pair
Puisque p² est pair, alors p est pair
3) p étant pair, on peut l'écrire sous la forme p = 2k (avec k entier)
On avait p² = 2q² ⇔(2k)² = 2q² ⇔ q² = 4k²/2 ⇔ q² = 2k²
q² est donc pair (comme produit d'en entier k² et de 2)
4) D'après la propriété admise dans le 2) , puisque q² est pair, alors q est pair
5) On est parti de l'hypothèse que p et q étaient premiers entre eux. Or on vient de montrer que p et q sont pairs. Ils ne sont donc pas premiers entre eux.
6) La contradiction apparue au cours du raisonnement nous montre que l'hypothèse de départ est fausse. Donc √2 ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. Ce n'est donc pas un nombre rationnel. √2 n'appartient qu'à R (ensemble des réels)
