Bonsoir,
1) Première méthode : On écrit le second membre sous forme exponentielle:
[tex]\frac{\sqrt 3+ \mathrm{i}}{4}=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt 3+ \mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}[/tex] dont on trouve facilement les deux racines carrées :
[tex]\boxed{z=\pm \frac{1}{\sqrt2}\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}}[/tex].
2) Deuxième méthode : On cherche z sous forme algébrique.
On écrit [tex]z=a+\mathrm{i}b[/tex] avec [tex](a,b) \in \mathbb{R}^2[/tex].
On a alors : [tex]z^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab=\frac{\sqrt 3+\mathrm{i}}{4} \iff\left \{ {{a^2-b^2=\frac{\sqrt 3}{4}} \atop {2ab=\frac{1}{4}}} \right.[/tex] en identifiant parties réelles et imaginaires.
A partir de (2), on trouve : [tex]a=\frac{1}{8b}[/tex] (b est non nul car la racine cherchée ne peut pas être réelle),
puis, en injectant dans (1) : [tex]\frac{1}{64b^2}-b^2=\frac{\sqrt 3}{4} \iff \frac{1}{64}-b^4-\frac{\sqrt3}{4}b^2=0 \iff b^2=\frac{2-\sqrt 3}{8} \iff \boxed{b=\pm\frac{\sqrt 3-1}{#4}}[/tex]
et donc, tous calculs faits : [tex]\boxed{a=\pm \frac{\sqrt 3+1}{4}}[/tex].
Ainsi : [tex]\boxed{z=\pm\left(\frac{\sqrt 3+1}{4}+\mathrm{i}\frac{\sqrt 3-1}{4}\right)}[/tex].
3) En regroupant les deux résultats, on obtient :
[tex]\pm\left(\frac{\sqrt 3+1}{4}+\mathrm{i}\frac{\sqrt 3-1}{4}\right)=\pm\frac{1}{\sqrt 2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}=\pm\frac{1}{\sqrt 2}( \cos(\frac{\pi}{12})+\mathrm{i} \sin(\frac{\pi}{12}))}[/tex].
Donc, en identifiant parties réelles et imaginaires, sachant que les cosinus et sinus doivent être positifs (cela se voit sur le cercle trigo) :
[tex]\boxed{\cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt 3+1}{2\sqrt 2}}[/tex] et [tex]\boxed{\sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}}[/tex].
