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Bonjour j ai un Devoir maison en mathématiques pouvez vous m aidez svp.
Je suis en seconde

On considère un entier naturel n non nul.

1. On pose Sn=1+2+3+⋯+(n−2)+(n−1)+n.
a. En remarquant que Sn =n+(n−1)+(n−2)+…+3+2+1 déterminer une expression de 2Sn en fonction de n.

b. En déduire une expression de Sn en fonction de n.

c. Calculer 1+2+3+⋯+1031.


2. Déduire des questions précédentes que n(n+1) est un nombre pair pour tout entier naturel n non nul.

Sagot :

JPMORIN3

bjr

1. On pose Sn=1+2+3+⋯+(n−2)+(n−1)+n.

a. En remarquant que Sn =n+(n−1)+(n−2)+…+3+2+1 déterminer une expression de 2Sn en fonction de n.

Sn = 1  +  2    +  3    +⋯+ (n−2) + (n−1) + n.

Sn =  n + (n−1)+(n−2)+… +    3    +    2   + 1

on observe que la somme des termes de même rang

est toujours égale à n + 1

rang 1 :  n + 1

rang 2 : 2 + (n - 1) = 2 + n - 1 = n + 1

rang 3 : 3 + (n - 2) = 3 + n - 2 = n + 1

   Sn = 1    +           2     +      3     +..  .+ (n - 2) + (n - 1) +  n

   Sn = n   +        (n - 1)  +   (n - 2) +.. . +    3     +    2    +   1

--------------------------------------------------------------------------------

  2Sn =( n + 1) +  ( n + 1)  + ( n + 1)        .......................... + (n + 1)

           < - - - - - - - - - - - n termes  - - - - - - - - - - - - - - - - - - ->

b. En déduire une expression de Sn en fonction de n.

2Sn = n x (n + 1)

                                  Sn = n(n + 1) / 2      (1)

c. Calculer 1 + 2 + 3 +⋯+ 1031.

on remplace n par 1031 dans la formule  (1)

   S₁₀₃₁ = 1031 x (1031 + 1) / 2

           = 1031 x 1032/2

          = 531 996

d)

n(n + 1) est le produit de deux naturels consécutifs, l'un d'eux est pair

le produit est donc pair