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1. On pose Sn=1+2+3+⋯+(n−2)+(n−1)+n.
a. En remarquant que Sn =n+(n−1)+(n−2)+…+3+2+1 déterminer une expression de 2Sn en fonction de n.
Sn = 1 + 2 + 3 +⋯+ (n−2) + (n−1) + n.
Sn = n + (n−1)+(n−2)+… + 3 + 2 + 1
on observe que la somme des termes de même rang
est toujours égale à n + 1
rang 1 : n + 1
rang 2 : 2 + (n - 1) = 2 + n - 1 = n + 1
rang 3 : 3 + (n - 2) = 3 + n - 2 = n + 1
Sn = 1 + 2 + 3 +.. .+ (n - 2) + (n - 1) + n
Sn = n + (n - 1) + (n - 2) +.. . + 3 + 2 + 1
--------------------------------------------------------------------------------
2Sn =( n + 1) + ( n + 1) + ( n + 1) .......................... + (n + 1)
< - - - - - - - - - - - n termes - - - - - - - - - - - - - - - - - - ->
b. En déduire une expression de Sn en fonction de n.
2Sn = n x (n + 1)
Sn = n(n + 1) / 2 (1)
c. Calculer 1 + 2 + 3 +⋯+ 1031.
on remplace n par 1031 dans la formule (1)
S₁₀₃₁ = 1031 x (1031 + 1) / 2
= 1031 x 1032/2
= 531 996
d)
n(n + 1) est le produit de deux naturels consécutifs, l'un d'eux est pair
le produit est donc pair