Bonjour,
1)a) Nous pouvons remarquer que les racines de cette équation
[tex]x^2-6x+8=0[/tex]
vérifient que leur somme est 6 = 4 + 2 et leur produit est 8 = 4 * 2, donc nous pouvons factoriser comme ci-dessous
[tex]x^2-6x+8=(x-2)(x-4)[/tex]
Autrement, il suffit de développer (x-2)(x-4) pour prouver l'égalité.
b) Nous savons que
[tex]\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2\\\\ab=0<=> a = 0 \ ou \ b=0[/tex]
Donc, ici
[tex]x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0\\\\<=> (x-2)=0 \ ou \ (x-4)=0\\\\<=> x = 2 \ ou \ x=4[/tex]
2) Tu ne trouves pas ça bizarre d'avoir une première question sur une équation du second degré et maintenant on repart sur les suites?
On peut remarquer ceci et voir d'oú cette équation vient.
[tex]u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n <=>u_{n+2}-6u_{n+1}+8u_n=0[/tex]
Dire que [tex]v_n[/tex] est une suite géométrique veut dire que le rapport (en supposant que les valeurs au dénominateur sont non nuls)
[tex]\dfrac{v_{n+1}}{v_n}[/tex] est constant, notons k cette constante
[tex]v_{n+1}=u_{n+2}-\alpha u_{n+1}=6u_{n+1}-8u_n-\alpha u_{n+1}\\\\=(6-\alpha) u_{n+1}-8u_n\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{(6-\alpha) u_{n+1}-8u_n}{u_{n+1}-\alpha u_n} =k \\ \\[/tex]
Cela revient à dire que
[tex](6-\alpha) u_{n+1}-8u_n = k ( {u_{n+1}-\alpha u_n)=k u_{n+1} -\alpha \times k u_n \\ \\[/tex], et donc
[tex]k=6-\alpha \\\\8=k\times \alpha[/tex]
Si je multiplie la première équation par alpha cela donne
[tex]\alpha \times k = 8 = \alpha (6-\alpha)\\\\\alpha^2-6\alpha+8=0[/tex]
Et comme par hasard, nous retrouvons l'équation de la première question.
Nous pouvons écrire de même pour la suite w(n) donc alpha et beta sont en fait les deux racines. Nous pouvons prendre
[tex]\boxed{\alpha=2}\\\\\ \boxed{\beta=4}[/tex]
Et le rapport constant k est donc 8/2=4 pour v(n)
et 8/4=2 pour w(n)
3)
[tex]v_n-w_n=u_{n+1}-2u_n-u_{n+1}+4u_n=2u_n\\\\\boxed{v_n-w_n=2u_n}\\\\\\u_n=\dfrac{v_n-w_n}{2}[/tex]
4)
[tex]v_0=u_1-2u_0=5-2=3\\\\w_0=u_1-4u_0=5-4=1\\\\\boxed{v_n=v_0(4)^n=3\times 4^n}\\\\\boxed{w_n=w_0(2)^n=2^n}\\\\u_n=\dfrac{3\cdot 4^n-2^n}{2}=2^n\dfrac{3\cdot 2^n-1}{2}=2^{n-1}(3\cdot 2^{n}-1)\\\\\large \boxed{\sf \bf u_n=2^{n-1}(3\cdot 2^{n}-1) }[/tex]
