Réponse :
1) quel est le domaine de définition de C ?
[0 ; 60]
2) vérifier que C(x) = (x - 10)² + 100
= x² - 20 x + 100 + 100
= x² - 20 x + 200
donc on bien C(x) = (x - 10)² + 100
3) dresser le tableau de variation de C sur [0 ; 60]
x 0 10 60
C(x) 200 →→→→→→→→→→ 100 →→→→→→→→→→ 2600
décroissante croissante
4) pour quelle quantité d'appareils le coût est-il minimal ?
pour 10 appareils le coût est minimal
5) exprimer la recette pour la vente de x appareils
R(x) = 34 x
6) a) exprimer le bénéfice B(x) obtenu pour la vente de x appareils
B(x) = R(x) - C(x)
= 34 x - (x² - 20 x + 200)
= 34 x - x² + 20 x - 200
B(x) = - x² + 54 x - 200
b) démontrer que
B(x) = - (x - 27)² + 529
α = - b/2a = - 54/- 2 = 27
β = f(27) = - 27² + 54 * 27 - 200 = - 729 + 1458 - 200 = 529
B(x) = a(x - α)²+ β = -(x - 27)²+ 529
7) en établissant le tableau de variation de B, trouver la quantité d'appareils pour laquelle le bénéfice est maximal
x 0 27 60
B(x) - 200 →→→→→→→→→→→ 529 →→→→→→→→→ - 560
croissante décroissante
la quantité d'appareils pour laquelle le bénéfice est maximal est de 27
8) pour quelle(s) valeur(s) de x le bénéfice vaut 520 € ?
B(x) = - (x - 27)² + 529 = 520 ⇔ -(x - 27)² + 9 = 0 ⇔ -((x - 7)² - 9) = 0
⇔ -(x - 7 + 3)(x - 7 - 3) = 0 ⇔ -(x - 4)(x - 10) = 0 ⇔ x = 4 ou x = 10
9) B(x) = - (x - 27)² + 529 > 300 ⇔ - (x - 27)² + 229 > 0
⇔ -((x - 27)² - 229) > 0 ⇔ -((x - 27)² - (√229)²) > 0
⇔ -((x - 27 + √229)(x - 27 - √229) > 0 ⇔ 27-√229 < x < 27 + √229
⇔ 12 < x < 42
Explications étape par étape