Bonjour,
A la question on t'a demandé si pour n = 0 => P(0) est vrai
Dans la question b) c'est exactement la même chose sauf qu'au lieu de test pour n = 0 on le test pour n = k.
Pour la suite soit tu le fait toi même, soit tu peux regarder le corriger détaillé ci-dessous
a) Initialisation :
Pour n = 0
[tex]u_{n} = u_{0}[/tex] = 0 et 0 ≤ 0 ≤ 2
Donc la proposition P(0) est vrai au rang n = 0.
b) Hérédité :
On suppose que, pour tout k, entier naturel quelconque, la proposition P(k) est vrai et montrons qu'alors P(k + 1) est vrai :
0 ≤ [tex]u_{k}[/tex] ≤ 2
2 ≤ [tex]u_{k}[/tex] + 2 ≤ 4 (On addition par 2 tous les membres)
[tex]\sqrt{2}[/tex] ≤ [tex]\sqrt{u_{k} + 2}[/tex] ≤ 2 (On applique la racine carré et on remarque [tex]u_{k + 1}[/tex])
[tex]\sqrt{2}[/tex] ≤ [tex]u_{k + 1}[/tex] ≤ 2
Or 0 ≤ [tex]\sqrt{2}[/tex] ≤ 2
Donc 0 ≤ [tex]u_{k + 1}[/tex] ≤ 2
Donc au rang k + 1 la proposition P(k + 1) est vrai.
c) Conclusion :
La propriété étant vrai au rang initial et étant héréditaire, on peut donc en conclure, en application du principe de récurence que, pour tout n entier naturel, 0 ≤ [tex]u_{k}[/tex] ≤ 2.
