Réponse : Bonjour,
On suppose que a et b, ne sont pas divisibles par 3, donc il existe [tex]k, k' \in \mathbb{Z}[/tex], tel que [tex]a=3k+1[/tex], ou [tex]a=3k+2[/tex], [tex]b=3k'+1[/tex], ou [tex]b=3k'+2[/tex].
Il y a donc 4 cas:
i) Si [tex]a=3k+1[/tex], et [tex]b=3k'+1[/tex].
Alors:
[tex]a+b=3k+1+3k'+1=3(k+k')+2[/tex]
Le reste de la division euclidienne de a+b par 3, étant égal à 2, donc a+b, n'est pas divisible par 3.
[tex]a-b=3k+1-3k'-1=3(k-k')[/tex]
[tex]k-k' \in \mathbb{Z}[/tex], donc [tex]a-b[/tex] est divisible par 3.
ii) Si [tex]a=3k+1[/tex], et [tex]b=3k'+2[/tex].
Alors:
[tex]a+b=3k+1+3k'+2=3(k+k'+1)[/tex]
[tex]k+k'+1 \in \mathbb{Z}[/tex], donc a+b est divisible par 3.
iii) Si [tex]a=3k+2[/tex], et [tex]b=3k'+1[/tex].
Alors:
[tex]a+b=3k+2+3k'+1=3(k+k')+3=3(k+k'+1)[/tex]
Donc a+b est divisible par 3.
iv) Si [tex]a=3k+2[/tex], et [tex]b=3k'+2[/tex].
Alors:
[tex]a+b=3k+2+3k'+2=3k+3k'+4=3(k+k'+1)+1[/tex]
Le reste de la division euclidienne de a+b par 3, étant égal à 1, donc a+b n'est pas divisible par 3.
[tex]a-b=3k+2-3k'-2=3(k-k')[/tex]
[tex]k-k' \in \mathbb{Z}[/tex], donc a-b est divisible par 3.
Donc si a et b ne sont pas divisibles par 3, alors au moins un des nombres a+b et a-b est divisible par 3.
Si a ou b est divisible par 3, alors il n'a rien à montrer.
Donc si a et b sont des entiers quelconques, alors l'un au moins des quatre nombres a, b, a+b, ou a-b est divisible par 3.
On a:
[tex]ab(a^{2}-b^{2})=ab(a-b)(a+b)[/tex]
D'après ce qui précède, si a et b sont des entiers quelconques, alors au moins un des quatre nombres a, b, a+b, et a-b est divisible par 3.
Donc 3 divise [tex]ab(a-b)(a+b)[/tex], car a, et b sont des entiers, donc a-b et a+b sont aussi des entiers.
On en déduit que 3 divise [tex]ab(a^{2}-b^{2})[/tex], et donc que [tex]ab(a^{2}-b^{2})[/tex] est multiple de 3.