bjr
hérédité
soit un entier n ≥ 1
on appelle P(n) la propriété : 1 + 2² + 3² + ....... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
on suppose P(n) vraie
on veut montrer que P(n + 1) est vraie
P(n + 1) : 1 + 2² + 3² + ....... + n² + (n+ 1)² = (n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]/6
= (n + 1)(n + 2)(2n + 3)/6
on part de 1 + 2² + 3² + ....... + n² + (n+ 1)²
1 + 2² + 3² + ....... + n² + (n+ 1)² = [1 + 2² + 3² + ....... + n²] + (n + 1)²
= [ n(n+1)(2n+1)/6 ] + (n + 1)²
= n(n+1)(2n+1)/6 + 6(n + 1)² /6
= [n(n+1)(2n+1) + 6(n + 1)²] /6
calcul du numérateur
n(n+1)(2n+1) + 6(n + 1)² = (n+ 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)
= (n + 1)(2n² + n + 6n + 6)
= (n + 1)(2n² + 7n + 6)
on veut obtenir (n + 2)(2n + 3)
on développe (n + 2)(2n + 3) et on trouve bien 2n² + 7n + 6
le numérateur est (n+ 1)(n + 2)(2n + 3)
et on a obtenu le résultat cherché
d'où P(n + 1) vraie
il te reste à écrire la conclusion
