Bonjour,
Par disjonction de cas : si n est pair alors n = 2k , on a ainsi :
[tex](2k) {}^{2} + 2k + 1 = 2k(2k + 1) + 1[/tex]
Donc si n est pair, alors n² + n + 1 est impair
Maintenant si n est impair alors n = 2k + 1 , on a ainsi :
[tex](2k + 1) {}^{2} + 2k + 1 + 1[/tex]
[tex] = 4k {}^{2} + 4k + 1 + 2k + 1 + 1[/tex]
[tex] = 4k {}^{2} + 6k + 2 + 1[/tex]
[tex] = 2(2 {k}^{2} + 3k + 1) + 1[/tex]
Donc si n est impair alors n² + n + 1 est impair
Conclusion : ∀n , n² + n + 1 est un nombre impair
